Οι ποσοτικές σχέσεις που χρησιμοποιούνται σήμερα για τη θραύση των ρωγματωμένων στερεών διατυπώθηκαν αρχικά από τον A. A. Griffith πριν 80 περίπου χρόνια. Χάρις στη πρωτοπόρο και κλασσική πλέον δουλειά του ο Griffith θεωρείται ο πατέρας της Θραυστομηχανικής.

Το 1920 ο Griffith δημοσίευσε τα θεωρητικά και πειραματικά του αποτελέσματα με εύθραυστα ψαθυρά στερεά (π.χ. γυαλί) και η θεωρία του παρέχει για τα υλικά αυτά μια σχέση που συνδέει τη τάση θραύσης με το μέγεθος της ρωγμής.

Ο Griffith θεώρησε ότι οι μικρορωγμές και οι ατέλειες που υπάρχουν στο υλικό αυξάνουν σε διαστάσεις, ενώνονται και διαδίδονται, όταν επιβληθεί στο υλικό ένα εξωτερικό φορτίο. Επιπλέον θεώρησε ότι υπάρχει ένα ενεργειακό ισοζύγιο μεταξύ δυναμικής ενέργειας από τη φόρτιση και επιφανειακής ενέργειας από τη ρωγμή.

Διατύπωσε λοιπόν, τη κλασική σήμερα θεώρηση, ότι ένα προϋπάρχον ελάττωμα τείνει να διαδοθεί αν πρόκειται έτσι αν μειωθεί η συνολική ενέργεια του συστήματος. Θεωρώντας δε ότι υπάρχει ένα ισοζύγιο ενεργειών μεταξύ:

1. της μείωσης της ελαστικής παραμορφωτικής ενέργειας εντός ενός φορτισμένου σώματος, καθώς διαδίδεται μια ρωγμή, και,

2. της ενέργειας που απαιτείται για τη καταπολέμηση των δυνάμεων συνοχής και τη δημιουργία των νέων επιφανειών της ρωγμής,

διαπίστωσε ότι, η τάση  σ  και το μήκος της ρωγμής  α  συνδέονται με τη σχέση:

Το Ισοζύγιο Ενεργειών σε μια Φορτισμένη & Ρωγματωμένη Πλάκα

Έστω ότι έχουμε μια απείρου μήκους πλάκα υλικού, η οποία έχει πλάτος w και πάχος t. Στη πλάκα αυτή εφαρμόζουμε μια εφελκυστική τάση σ. Η δυναμική ελαστική ενέργεια της φορτισμένης συμπαγούς πλάκας είναι U0, και είναι σταθερή (εφόσον είναι και η σ σταθερή).

,

Αν στο κέντρο της πλάκας δημιουργηθεί μια ρωγμή μήκους 2α, (2α << w) τότε η ενεργειακή κατάσταση αλλάζει και η νέα συνολική ενέργεια U της ρωγματωμένης πλάκας θα είναι συνάρτηση της αρχικής ενέργειας U0, και των ενεργειακών μεταβολών που συνέβησαν εξαιτίας της ρωγμής.

Ένα μέρος από τη δυναμική ενέργεια θα εκτονωθεί λόγω της δημιουργίας της ρωγμής (Uα). Η δημιουργία των νέων επιφανειών στη ρωγμή απαιτεί επίσης ενέργεια (Uγ). Τέλος, υπάρχει και το έργο (F) που παράγεται από τη μετατόπιση του μηχανισμού εφελκυσμού (για να διατηρήσει τη τάση σταθερή). Το έργο αυτό δεν λαμβάνεται υπ’ όψιν όταν ο μηχανισμός είναι σταθερός και μειώνεται η τάση.

Η συνολική ενέργεια U μετά τη δημιουργία της ρωγμής γίνεται:

(5)

όπου,
,  είναι η μείωση της δυναμικής ενέργειας λόγω της εμφάνισης της ρωγμής,
,  είναι η ενέργεια δημιουργίας των επιφανειών της ρωγμής,
F = (Δύναμη * Μετατόπιση),  είναι το έργο που παράγεται λόγω της απώλειας της ακαμψίας, και,
Ε  και γε  είναι, αντίστοιχα, το μέτρο ελαστικότητας και η ειδική ενέργεια επιφανείας, οι οποίες αποτελούν χαρακτηριστικές ιδιότητες του υλικού.

Αντικαθιστώντας στον αρχικό τύπο τις παραπάνω ποσότητες και για F=0, (σταθερό μηχανισμό - fixed grip), ο τύπος για τη συνολική ενέργεια γίνεται:

(6)

Εικόνα 9 : Ενεργειακό ισοζύγιο της ρωγματωμένης πλάκας.

Για να βρούμε τη συνθήκη ισορροπίας θέτουμε τη πρώτη παράγωγο της ενέργειας ως προς το μήκος της ρωγμής ίση με μηδέν (dU/dα = 0) και έχουμε:

(7)

Η τελευταία σχέση δείχνει ότι η ρωγμή διαδίδεται όταν το γινόμενο  φτάσει σε μια κρίσιμη, και σταθερή για το υλικό, τιμή.

Ο Griffith διατύπωσε επίσης τις συνθήκες ισορροπίας για τον υπολογισμό επίπεδων τάσεων (plane stress) και επίπεδων παραμορφώσεων (plane strain) αντίστοιχα, ως εξής:

(8)

Προφανώς, όπως προκύπτει από τη συνθήκη (8) για να υπάρξει επέκταση της ρωγμής θα πρέπει η τάση να γίνει:        

Ο πιο κλασικός τρόπος διατύπωσης της συνθήκης ισορροπίας (7) είναι ο εξής:

(9)

Το αριστερό μέλος καλείται Ρυθμός Απελευθέρωσης Ενέργειας, G, και αντιπροσωπεύει την ελαστική ενέργεια ανά μονάδα επιφανείας που γίνεται διαθέσιμη από την απειροελάχιστη αύξηση της ρωγμής. Το δεξί μέλος καλείται Αντίσταση Ρωγμής, R, και αντιπροσωπεύει την αύξηση στην επιφανειακή ενέργεια για μια απειροελάχιστη αύξηση της ρωγμής.

Όπως προκύπτει από τη συνθήκη (9), για να υπάρξει διάδοση της ρωγμής θα πρέπει: G >= R. Εάν το R είναι σταθερό, τότε το G πρέπει να ξεπεράσει μια κρίσιμη τιμή Gc = R.

(10)

Η κρίσιμη τιμή GC  μπορεί να οριστεί μετρώντας την απαιτούμενη τάση σC για τη θραύση μιας πλάκας με ρωγμή μεγέθους  2a.

Επέκταση και Εφαρμογή της Μεθόδου

Το 1948 ο Irwin  πρότεινε την επέκταση της θεωρίας του Griffith, από τα ιδεατά ψαθυρά υλικά σε υλικά που παρουσίαζαν πλαστική παραμόρφωση. Η τροποποίηση που πρότεινε ήταν, η ενέργεια Uγ να περιλαμβάνει το άθροισμα της ενέργειας επιφανείας γε της ρωγμής και του έργου της πλαστικής παραμόρφωσης γπ . Έτσι, η προηγούμενη συνθήκη (9) γράφεται:

(11)

Σε ιδιαίτερα ψαθυρά υλικά γε >> γπ , ενώ σε έντονα όλκιμα υλικά γε << γπ.

Παρ’ όλες τις προσθήκες και επεκτάσεις, η εφαρμογή της μεθόδου δεν είναι πάντα εφικτή. Σε πολλές πραγματικές περιπτώσεις δεν ισχύουν οι προϋποθέσεις της ώστε να χρησιμοποιηθεί με αξιοπιστία, και κυρίως σε περιπτώσεις αργής και σταθερής διάδοσης, όπως συμβαίνει στη διάβρωση.

Αυτό που πρέπει να έχει κανείς υπ’ όψιν του όταν εφαρμόζει τη μέθοδο του ενεργειακού ισοζυγίου, σε οποιαδήποτε από τις παραπάνω μορφές, είναι ότι: δεν αποτελεί ικανή συνθήκη , αλλά μας δίνει μόνο την αναγκαία συνθήκη για την ασταθή διάδοση μιας αιχμηρής ρωγμής.

Με άλλα λόγια η μέθοδος μπορεί να μας βεβαιώσει αξιόπιστα όταν δεν υπάρχει η απαραίτητη ενέργεια ότι δεν θα υπάρξει και επέκταση των ρωγμών και μπορεί να μας δώσει τα επίπεδα ενέργειας πάνω από τα οποία η επέκταση των ρωγμών είναι δυνατή. Δεν μπορεί όμως να μας βεβαιώσει για το αν, πως, και, πότε αυτό θα γίνει.

Παράδειγμα 1:

Η ειδική ενέργεια επιφανείας γε ενός υλικού είναι 0.54 N/m, και το μέτρο ελαστικότητας  E είναι  62 GPa. (Σημ.: Pa=N/m2, N=kg*m/s2). Ένα εξάρτημα από το υλικό αυτό καταπονείται και περιέχει ρωγμές.

Ερωτήσεις:
Α) Ποια είναι η κρίσιμη τιμή του γινομένου  για το σημείο ισορροπίας του διαγράμματος για τη συνολική ενέργεια;
Β) Αν το μέγεθος της ρωγμής  α  είναι  0.1mm, ποια είναι η κρίσιμη τιμή της τάσης σ  που θα επιτρέψει την επέκτασή της;

Απαντήσεις:
Α) Από την εξίσωση (7) προκύπτει ότι:

Β) Από το (Α) έχουμε ότι:

Παράδειγμα 2:

Ένα εξάρτημα από το ίδιο υλικό του προηγουμένου παραδείγματος καταπονείται από μια τάση 5 MPa. Στο εξάρτημα αυτό προϋπήρχε ρωγμή μήκους 0.2mm.

Ερώτηση:
Σύμφωνα με τη μέθοδο του ενεργειακού ισοζυγίου, υπάρχει κίνδυνος επέκτασής της ή όχι;

Απάντηση:
Από τις εξισώσεις (9-10) έχουμε:

Εφόσον ο Ρυθμός Απελευθέρωσης Ενέργειας είναι μικρότερος από την Αντίσταση Ρωγμής,   G < R(=GC),  δεν υπάρχει κίνδυνος επέκτασής της.

[Προηγούμενη] | Πάνω | [Επόμενη]